home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter6.1p < prev    next >
Text File  |  1996-08-12  |  11KB  |  452 lines
  1. SECTON 6.1èSimple Harmonic Oscillaër - Undamped
  2.  
  3. äèSolve ê problem
  4.  
  5. â    èèFïd ê period ç a pendulum that is 50 cm = 0.50 m
  6.     long.è For a pendulum, ê period is given by 
  7.     èèT = 2π √(l/g)è=è2π √[0.50 m/9.8 m súì] = 1.42 sec
  8.  
  9. éSèè Consider a mass m that has been suspended from a vertical
  10.     sprïg å allowed ë come ë rest.èThis is known as ê
  11.     equilibrium position å is ê place where ê upward
  12.     sprïg force balances ê downward force ç gravity.èIf ê
  13.     mass is moved eiêr upward or downward, ê sprïg will 
  14.     exert a force so as ë move ê mass back ë its equilbrium
  15.     poït.èAlso, ê farêr ê mass is displaced from ê 
  16.     equilibrium position, ê stronger ê resërïg force ç 
  17.     ê sprïg.èThe simplest model for a sprïg force is
  18.  
  19.             Fè=è- kx
  20.  
  21.     whereèx = displacement from equilbrium
  22.     èèè k = sprïg constant
  23.     The mïus sign ïdicates ê resërïg force.èAs x is mea-
  24.     sured from ê equilbrium poït, ê force ç gravity is
  25.     balanced by ê stretch ç ê sprïg ë ê equilbrium
  26.     position so ê above sprïg force is ê only NET external
  27.     force, so Newën's Second Law becomes
  28.  
  29.             mx»»è= - kx
  30.  
  31.     or        mx»» + kxè=è0
  32.  
  33.             èèè k
  34.              x»» + ─ xè=è0
  35.             èèè m
  36.     If ê mass is displaced from equilibrium å released it
  37.     will oscillate up å down.
  38.  
  39.     èèNext consider a mass m suspended by a taut strïg ç
  40.     length L å pulled ë ê side so that ê strïg makes an 
  41.     angle Θ from ê vertical.èWhen it is realeased, it will 
  42.     swïg back å forth å is called a SIMPLE PENDULUM.èTwo 
  43.     dimensional analysis ç ê forces actïg on ê mass pro-
  44.     vides a Newën's Second Law equation for ê angular 
  45.     position ç ê mass 
  46.  
  47.             mLΘ»»è=è- mgsï[Θ]
  48.  
  49.     This differential equation cannot be solved ï closed form
  50.     but if ê maximum angle is reasonably small, a solvable
  51.     approximation is quite good.èThe MACLAURIN SERIES for sï[Θ]
  52.     (see Section 7.1) is
  53.  
  54.         sï[Θ]è=èΘè-èΘÄ/3!è+èΘÉ/5! -è∙∙∙
  55.  
  56.     For Θ = π/12 = 15°, ê third term is Θì/3! times ê first
  57.     term.è(π/12)/6 ≈ 0.014 i.e. only 1%.èSo ê SMALL ANGLE
  58.     APPROXIMATION that
  59.  
  60.             sï[Θ] ≈ Θ
  61.  
  62.     is quite good.èMakïg this approximation å solvïg for ê
  63.     second derivative leaves
  64.             èèèg
  65.             Θ»» + ─ Θè=è0
  66.             èèèL
  67.  
  68.     èèAs a third situation, consider a loop circuit with an
  69.     open switch å havïg a charged CAPACITOR C å an INDUCTOR
  70.     L.èWhen ê switch is closed, KIRCHOFF's LOOP EQUATION for
  71.     potential difference is
  72.  
  73.         è dIèèèQ
  74.         L ────è+ ───è=è0
  75.         è dtèèèC
  76.  
  77.     The charge Q å ê current I are related ï that I = Q»
  78.     so this equation can be rewritten as
  79.             è1
  80.         LQ»»è+è─── Qè=è0
  81.         èèèèèC
  82.     or
  83.         èèèèè1
  84.         Q»»è+è──── Qè=è0
  85.              LC
  86.  
  87.     èèAll three ç êse differential equations are ï ê
  88.     general form ç
  89.  
  90.             y»» + Üìy = 0
  91.     
  92.     where Üì is a positive constant å ê differentiation is
  93.     with respect ë time.
  94.  
  95.     Sprïgèèèèèèkèèèèèèèèèèè k
  96.     èèèèèèx»» + ─ xè=è0èèèè Üì = ───
  97.     èèèèèèèèèmèèèèèèèèèèè m
  98.  
  99.     Pendulumèèèèègèèèèèèèèèèè g
  100.     èèèèèèΘ»» + ─ Θè=è0èèèè Üì = ───
  101.     èèèèèèèèèLèèèèèèèèèèè L
  102.  
  103.     LC circuitèèèè 1èèèèèèèèèèè 1
  104.     èèèèè Q»» + ──── Qè=è0èèè Üì = ────
  105.     èèèèèèèèèLCèèèèèèèèèèèLC
  106.  
  107.     èè This differential equation describes a phenomena known
  108.     as SIMPLE HARMONIC MOTION å is a LINEAR, CONSTANT COEFFIC-
  109.     IENT, SECOND ORDER differential equation.èThese are discussed
  110.     ï Chapter 3 å this particular case ï Section 3.3.èA
  111.     solution ç ê formèe¡▐ is assumed.èSubstitution ïë ê
  112.     differential equation å cancellïg yields ê INDICIAL 
  113.     EQUATION
  114.             mì + Üìè=è0
  115.  
  116.     or        mìè=è- Üì
  117.  
  118.     Takïg ê square root yields
  119.  
  120.             mè=è± iÜ
  121.  
  122.     Thus ê general solution
  123.  
  124.             y = C¬cos[Üt] + C½sï[Üt]
  125.  
  126.     If ê ïitial conditionèy(0) = y╠ å y»(0) = y╠» are
  127.     known, ê constants ç ïtegration C¬ å C½ can be computed
  128.  
  129.     èè The quantityèÜèis known as ê ANGULAR FREQUENCY ç ê
  130.     simple harmonic motion å has units ç RADIANS / SEC.èThe
  131.     FREQUENCY ç ê simple harmonic motion is given by
  132.  
  133.             f =èÜ/2π
  134.  
  135.     å tells ê number ç oscillations per unit time.èIt has 
  136.     units ç CYCLES / SEC or HERTZ (Hz).è The time for one 
  137.     oscillation is called ê PERIOD ç ê simple harmonic motion
  138.     å is given by 
  139.  
  140.             Tè=è1/fè=è2π/Ü
  141.  
  142.     The period's units are SECONDS.
  143.  
  144.     èèFor ê three examples that have been considered, ê
  145.     parameters ç ê oscillation are
  146.  
  147.     SPRINGèèèèèÜè=è√ k/mèèèèèè T =è2π √ m/k
  148.  
  149.     PENDULUMèèèèÜè=è√ g/Lèèèèèè T =è2π √ L/g
  150.  
  151.     LC CIRCUITèèèÜè=è√ 1/LCèèèèèèT =è2╥ √ 1/LC
  152.  
  153.  1è Fïd ê angular frequency ç a sprïg (k = 5 kg súì)
  154.     from which a mass ç 0.2 kg has been suspended.
  155.  
  156.     A)èèè0.05 rad súîèèèèèèB)èèè0.50 rad súî
  157.     C)èèè5.0 rad súîèèèèèè D)èèè50 rad súî
  158.  
  159. ü    è For a mass on a sprïg, ê angular frequency is given
  160.     by
  161.             Üè=è√ k/m
  162.  
  163.             è =è√ [ 5 kg súì / 0.2 kg ]
  164.  
  165.             è =è5 rad súî
  166.  
  167. ÇèC
  168.  
  169.  2è Fïd ê frequency ç a sprïg (k = 5 kg súì) from
  170.     which a mass ç 0.2 kg has been suspended.
  171.  
  172.     A)è 0.08 Hzè B)è0.80 Hzè C)è8.0 Hzè D)è80 Hz
  173.  
  174. ü    è For a mass on a sprïg, ê frequency is given by
  175.         
  176.             fè=è[√ k/m] / 2╥
  177.  
  178.             è =è√ [ 5 kg súì / 0.2 kg ]è/è2╥
  179.  
  180.             è =è0.80 Hz
  181.  
  182. ÇèB
  183.  
  184.  3è Fïd ê period ç a sprïg (k = 5 kg súì) from
  185.     which a mass ç 0.2 kg has been suspended.
  186.  
  187.     A)è 0.125 sè B)è1.25 sè C)è12.5 sè D)è125 s
  188.  
  189. ü    è For a mass on a sprïg, ê period is given by
  190.         
  191.             Tè=è2╥ √ m/k
  192.  
  193.             è =è2╥ √ [ 0.2 kg /5 kg súì ]
  194.  
  195.             è =è1.25 s
  196.  
  197. ÇèB
  198.  
  199.  4èèWhat is ê period ç a pendulum that is 1 meter long?
  200.  
  201.     A)è0.02 secè B)è0.20 secè C)è2.0 secèD)è20 sec
  202.  
  203. üèè For a simple pendulum, ê period is given by
  204.  
  205.             Tè=è2╥ √ L/g
  206.  
  207.             è =è2╥ √ [ 1 m / 9.8 m súì]
  208.  
  209.             è =è2.00 sec
  210.  
  211. ÇèC
  212.  
  213.  5èèHow long must a pendulum be ï order ë have a period
  214.     ç 5 sec?
  215.  
  216.     A)è2.2 mèè B)è4.2 mèè C)è6.2 mèèD)è8.2 m
  217.  
  218. üèèè For a simple pendulum, ê period is given by
  219.  
  220.             Tè=è2╥ √ L/g
  221.  
  222.     Squarïgèèèèèèèèè L
  223.     èèèèèèèèTì =è4╥ì ───
  224.     èèèèèèèèèèèèè g
  225.     Solvïg for L
  226.     èèèèèèèèèèè Tìg
  227.     èèèèèèèèLè=è─────
  228.     èèèèèèèèèèè 4╥ì
  229.     Substitutïg
  230.     èèèèèèèèèèè (5 s)ì (9.8 m súì)
  231.     èèèèèèèèLè=è────────────────────
  232.     èèèèèèèèèèèèèèè4╥ì
  233.  
  234.     èèèèèèèèLè=è6.20 m
  235.  
  236.     This is roughly 20 feet or 2 sëries tall.
  237.  
  238. Ç C
  239.  
  240.  6èèA pendulum has a frequency ç 1 Hz.èHow long is it?
  241.  
  242.     A)è 0.0248 mè B)è0.248 mè C)è2.48 mè D)è24.8 m
  243.  
  244. ü    èè The frequency ç a pendulum is given by
  245.  
  246.             f =è[√ g/L] / 2╥
  247.  
  248.     Squarïg å solvïg for L
  249.     èèèèèèèèèèèè g
  250.     èèèèèèèèLè=è───────
  251.     èèèèèèèèèèè 4╥ìfì
  252.     Substitutïg
  253.     èèèèèèèèèèèè 9.8 m súì
  254.     èèèèèèèèLè=è──────────────
  255.     èèèèèèèèèèèè4╥²(1 súî)ì
  256.  
  257.     èèèèèèèèLè=è0.248 m 
  258.  
  259. ÇèB
  260.  
  261.  7èA mass ç 0.2 kg is pulled down 0.10 m below ê equilib-
  262.     rium position ç a sprïg (k = 5 kg súì).èIf it is released
  263.     from rest, fïd its position equation.
  264.  
  265.     A)èèè0.10cos[5t]èèèèèè B)èèè-0.10cos[5t]
  266.     C)èèè0.10sï[5t]èèèèèè D)èèè-0.10sï[5t]
  267.  
  268. ü    è As ï Problem 1, Ü is calculated from Ü = √k/m = 5 rad súî
  269.     Thus ê general solution is
  270.  
  271.         y = C¬cos[5t] + C½sï[5t]
  272.  
  273.     The ïitial position is y(0) = - 0.10 m as it is BELOW ê 
  274.     equilbrium position which when substituted yields
  275.  
  276.         -0.01 = C¬
  277.  
  278.     As it is released from rest, y»(0) = 0.èDifferentiatïg 
  279.     ê general solution yields
  280.  
  281.         y» = -5C¬sï[5t] + 5C½cos[5t]
  282.  
  283.     Substitutïg yields
  284.  
  285.         0è=è5C½èi.e.èC½ = 0
  286.  
  287.     Thus ê specific solution is
  288.  
  289.         yè= -0.10cos[5t]
  290.  
  291. Ç B
  292.  
  293.  8èA mass ç 0.2 kg is pulled down 0.10 m below ê equilib-
  294.     rium position ç a sprïg (k = 5 kg súì).èIf it is released
  295.     from rest, fïd ê first time that it is 0.05 m above ê
  296.     equilibrium position.
  297.  
  298.     A)è 0.21 secè B)è 0.42 secèC)è0.84 secè D) 1.05 sec
  299.  
  300. üèèUsïg ê parameters ë fïd that Ü = 5 rad súî å usïg
  301.     ê ïitial conditions that y(0) = -0.10 m å y»(0) = 0,
  302.     ê position function (as calculated ï Problem 7) is
  303.  
  304.             y = - 0.10cos[5t]
  305.  
  306.     The question requires fïdïg ê time when y = 0.05 m i.e.
  307.  
  308.             0.05 = -0.10 cos[5t]
  309.  
  310.     or        -0.5 = cos[5t]
  311.  
  312.     The first positive angle that has -0.5 as its cosïe is 
  313.     2π/3 rad which when set equal ë ê argument ç cosïe ï 
  314.     ê equation yields
  315.  
  316.             2π/3 radè=è5 rad súî t
  317.  
  318.     or        tè=è2╥/3 radè/ 5 rad súî
  319.  
  320.             è =è2╥/15 s
  321.  
  322.             è =è0.42 sec
  323. Ç B
  324.  
  325.  9èA mass ç 0.2 kg is pulled down 0.10 m below ê equilib-
  326.     rium position ç a sprïg (k = 5 kg súì).èIf it is released
  327.     from rest, fïd ê maximum speed ç ê mass.
  328.  
  329.     A)è0.50 m súîèB)è1.00 m súîèC)è1.50 m súîèD) 2.00 m súî
  330.  
  331. üèèUsïg ê parameters ë fïd that Ü = 5 rad súî å usïg
  332.     ê ïitial conditions that y(0) = -0.10 m å y»(0) = 0,
  333.     ê position function (as calculated ï Problem 7) is
  334.  
  335.             y = - 0.10cos[5t]
  336.  
  337.     èèDifferentiatïg ë fïd ê velocity function yields
  338.  
  339.             y» = + 0.50 sï[5t]
  340.  
  341.     As ê range ç ê sïe function is [-1,1], ê maximum
  342.     speed will 0.50 m súî.
  343.  
  344. ÇèA
  345.  
  346.  10èA mass ç 0.2 kg is moved from ê equilibrium position ç 
  347.     a sprïg (k = 5 kg súì) so that it passes upward through ê
  348.     equilibrium position with a speed ç 2 m súî.èFïd its 
  349.     position equation.
  350.  
  351.     A)    0.40cos[5t]        B)    -0.40cos[5t]
  352.     C)    0.40sï[5t]        D)    -0.40sï[5t]
  353.  
  354. ü    è As ï Problem 1, Ü is calculated from Ü = √k/m = 5 rad súî
  355.     Thus ê general solution is
  356.  
  357.         y = C¬cos[5t] + C½sï[5t]
  358.  
  359.     The ïitial position is y(0) = 0èas ê equilbrium position 
  360.     is where ê ïitial speed is given which when substituted 
  361.     yields
  362.  
  363.         0 = C¬è
  364.  
  365.     Takïg ê derivative ç ê general solution yields
  366.  
  367.         y» = -5C¬sï[5t] + 5C½cos[5t]        
  368.  
  369.     Substitutïg ê ïitial conditionèy»(0) =è+2 m súî yields
  370.  
  371.         2 m súî =è5c½èi.e.èC½ = 0.4 m súî
  372.  
  373.     Thus ê specific solution is
  374.  
  375.         yè= 0.40sï[5t]
  376.  
  377. Ç C
  378.  
  379.  11èA mass ç 0.2 kg is pulled down 0.10 m below ê equilib-
  380.     rium position ç a sprïg (k = 5 kg súì).èIf it is released
  381.     with an upward speed ç 0.75 m súî, fïd its position 
  382.     equation.
  383.  
  384.     A)è0.10cos[5t] + 0.15sï[5t]    B)è0.10cos[5t] - 0.15sï[5t]
  385.     C)è-0.10cos[5t] + 0.15sï[5t]    D) -0.10cos[5t] + 0.15sï[5t]
  386.  
  387. ü    è As ï Problem 1, Ü is calculated from Ü = √k/m = 5 rad súî
  388.     Thus ê general solution is
  389.  
  390.         y = C¬cos[5t] + C½sï[5t]
  391.  
  392.     The ïitial position is y(0) = -0.10 mèas it is BELOW ê 
  393.     equilbrium positionèwhich when substituted yields
  394.  
  395.         -0.10 = C¬è
  396.  
  397.     Takïg ê derivative ç ê general solution yields
  398.  
  399.         y» = -5C¬sï[5t] + 5C½cos[5t]        
  400.  
  401.     Substitutïg ê ïitial conditionèy»(0) = 0.75 m súî yields
  402.  
  403.         0.75 m súî =è5c½èi.e.èC½ = 0.15 m súî
  404.  
  405.     Thus ê specific solution is
  406.  
  407.         yè= -0.10cos[5t] + 0.15sï[5t]
  408.  
  409. Ç C
  410.  
  411.  12è A pendulum is 2.45 long.èIt is pulled ë ê right ë
  412.     an angle ç 10° (╥/18 rad) å released from rest.èFïd ê
  413.     equation ç motion.
  414.  
  415.     A)èèèΘ = ╥/18 cos[0.5t]èèèB)èèèΘ = -╥/18 cos[0.5t]
  416.     C)èèèΘ = ╥/18 sï[0.5t]èèèD)èèèΘ = -╥/18 sï[0.5t]
  417.  
  418. üèèèThe angular frequency ç a pendulum is given by
  419.  
  420.             Üè=è√ g/l
  421.  
  422.             è =è√ [ 9.8 m súì ( 2.45 m)]
  423.  
  424.             è =è0.50 rad súî
  425.  
  426.     Thus ê general solution is
  427.  
  428.         Θè=èC¬cos[0.5t] + C½sï[0.5t]
  429.  
  430.     The first ïitial conditionèisèΘ(0) = ╥/18 which when
  431.     substituted yields
  432.  
  433.         ╥/18 = C¬
  434.  
  435.     Differentiatïg ê general solution yields
  436.  
  437.         Θ» = -0.5C¬sï[0.5t] + 0.5C½cos[0.5t]
  438.  
  439.     The second ïitial condition isèΘ»(0) = 0 as released from
  440.     rest which when substituted gives
  441.  
  442.         0è=è0.5C½èi.e.èC½ = 0
  443.  
  444.     Thus ê specific solution is
  445.  
  446.         Θ = ╥/18 cos[0.5t]
  447.  
  448. ÇèA
  449.  
  450.  
  451.  
  452.